Būdamas vaikas J. R. Puodžius su motina ir broliu 1941 metais buvo ištremtas į Altajaus krašto Barnaulo rajoną, vėliau – į Trofimovsko salą Lenos upės žiotyse Jakutijoje. Tėvas buvo suimtas ir ištremtas į Rešiotų lagerį Krasnojarsko krašte, kur po keturių mėnesių mirė.
1947 metų vasarą šeimai pavyko persikelti į Jakutską. Iš čia motina ryžosi nelegaliai sūnus išsiųsti į Lietuvą pas gimines. 1948 metų vasarą tai pavyko, nors bėgliai Maskvoje buvo sulaikyti ir pateko į beglobių vaikų namus, iš čia juos pasiėmė giminaičiai. Pati motina iš tremties grįžo tik 1956 metais.
J. R. Puodžius vidurinę mokyklą baigė Kaune, mokėsi Kauno politechnikume, Kauno politechnikos institute (dabar Kauno technologijos universitetas – BNS), kur įgijo inžinieriaus elektrotechniko diplomą. 1989 metais jam suteiktas Lietuvos nusipelniusio inžinieriaus garbės vardas.
Atkūrus Lietuvos nepriklausomybę J. R. Puodžius pakviestas dirbti į Mokslo ir studijų departamentą prie Vyriausybės. 1994–1998 metais jis ėjo Švietimo ministerijos sekretoriaus, viceministro pareigas, 1998–2009 metais buvo Mokslo tarybos patarėjas.
J. R. Puodžius taip pat aktyviai dalyvavo visuomeninėje veikloje, buvo Laptevų jūros tremtinių brolijos „Lapteviečiai“ pirmininko pavaduotojas, Lietuvos politinių kalinių ir tremtinių bendrijos pirmininkas, ilgametis visuomeninės tarybos prie Laisvės kovų komisijos Seime narys, jos pirmininkas.
Jis daug prisidėjo organizuojant Vilniuje Aukų gatvėje brolijos „Lapteviečiai“ pastatyto paminklo Jakutijoje kentėjusiems ir žuvusiems Lietuvos tremtiniams statybos finansavimą. Taip pat rūpinosi iš Sibiro, Korbiko gyvenvietės, atvežtos skulptūros „Sibiro madona“ konservavimu bei įkurdinimu Vilniaus arkikatedroje bazilikoje. Šios skulptūros kopija 2018 metais įteikta Lietuvoje viešėjusiam popiežiui Pranciškui.
J. R. Puodžius apdovanotas Lietuvos didžiojo kunigaikščio Gedimino ordino Riterio kryžiumi (2005 m.), Tautinių mažumų ir išeivijos departamento Aukso ženklu „Už nuopelnus“ (2007 m.) ir Lietuvos politinių kalinių ir tremtinių bendrijos medaliu „Vilties žvaigždė“ (2019 m.).
