1957 m. baigęs Maskvos P.Čaikovskio valstybinę konservatoriją, R.Žigaitis 1957–1961 m. dėstė Vilniaus J.Tallat-Kelpšos aukštesniojoje muzikos mokykloje ir Vilniaus M.K.Čiurlionio meno mokykloje, kurioje taip pat buvo Muzikos teorijos skyriaus vedėjas. 1961–1963 m. Vilniaus pedagoginio instituto Muzikos katedros vyr. dėstytojas, 1962–1963 m. Muzikos teorijos katedros vedėjas. Nuo 1969 iki 2001 m. – Lietuvos valstybinės konservatorijos (nuo 1992 m. Lietuvos muzikos ir teatro akademija) teorinių disciplinų vyr. dėstytojas, nuo 1979 m. – docentas, 1986–1988 m. – einantis profesoriaus pareigas ir Kompozicijos katedros vedėjas, nuo 1988 m. – Muzikos teorijos katedros profesorius.
„Gyvenimas gražus paprastumu, tačiau tas paprastumas – tai ne vien tai, kas gražu, šventiška. Dramatizmas irgi suteikia gyvenimui gražumo. O dramatiškų situacijų mano gyvenime buvo labai daug, tad jeigu viską sudėliotume į vieną paveikslą, net nežinau, kuri pusė nusvertų – šventiški ar dramatiški atvejai. Tačiau atmintyje išlieka tik gražūs įspūdžiai – tikrai matau ir jaučiu, kad gyvenimas nugyventas ne veltui“, – savo 75-ojo jubiliejaus išvakarėse kalbėjo R.Žigaitis.
1963–1986 m. R.Žigaitis buvo Lietuvos valstybinės filharmonijos meno vadovas (1975–1978 m. ir direktorius). Nuo 1995 m. iki mirties R.Žigaitis vadovavo Lietuvos muzikų sąjungai – buvo jos prezidentas.
